Μέχρι το 1960 το σημερινό Αυξέντιο λεγόταν Νέο Κατράμιο, στους κατοίκους δεν άρεζε αυτό το όνομα γιατί προερχόταν από την τουρκικη διάλεκτο όπου σήμαινε «μαύρο». Εκείνη την περίοδο ο αγγλικός στρατός με εντολές της Ελισάβετ, είχε εκτελέσει μεταξύ άλλων και τον Γρηγόρη Αυξεντίου. Γεγονός που είχε προκαλέσει μεγάλη λύπη και συγκίνηση στον ελληνικό λαό. Ο τότε γραμματέας της τοπικής κοινότητας Νέου Κατραμίου έτυχε να είχε υπηρετήσει μαζί με τον Αυξεντίου, τον είχε γνωρίσει προσωπικά, και μιας και βρίσκονταν σε αναζήτηση νέου ονόματος έκανε την σχετική πρόταση. Η αποδοχή από τους κατοίκους ήταν καθολική. Με πανηγυρικές διαδικασίες το χωρίο μετονομάστηκε σε Αυξέντιο, προς τιμήν του ήρωα της ΕΟΚΑ Γρηγόρη Αυξεντίου, ο οποίος θανατώθηκε με εντολή της Βασίλισσας Ελισάβετ.
Αξίζει να σημειωθεί πως η Βασίλισσας Ελισάβετ ευθύνεται για πλήθος αντίστοιχων θανάτων με πιο χαρακτηριστική την περίπτωση του Ευαγόρα Παλληκαρίδη, που τον απαγχόνισαν στα 19 του, επειδή έσκισε μια αγγλική σημαία.
